Le chaos en physique, Luc Pastur Jeudi 8 avril 2010, Laboratoire d’Informatique pour la Mécanique et les Sciences de l’Ingénieur (LIMSI)

Jeudi 8 avril 2010, le dernier jeudi de la recherche de la saison 2009-2010 a eu lieu au LIMSI à la faculté des sciences d’Orsay. Chercheur au sein de cette unité qui travaille sur des thèmes variés tels que la mécanique des fluides, l’énergétique, l’acoustique, la vision et la perception, la réalité virtuelle… Luc Pastur nous a accueillis pour nous parler du chaos en physique. Ce jeudi de la recherche nous montre entre autres que le chaos n’a rien d’aléatoire et s’inscrit dans un débat quasi philosophique !

Selon les Grecs anciens, Xαoσ (chaos en grec) désigne l’état du monde avant toute création mais aussi une entité primordiale de laquelle est né l’Univers. Il y a donc émergence spontanée de l’ordre à partir du chaos. C’est cette idée, commune à de nombreuses cosmogonies, qui est retrouvée en physique.

En physique, le mot chaos a été choisi pour « étiqueter » un nouveau paradigme selon lequel l’évolution d’un système, déterministe, peut être imprédictible. Ce choix n’est pas anodin dans la mesure où tout le monde a une idée de ce qu’est le chaos et cette théorie rencontre un vrai succès parmi le grand public, comme on a pu le voir lors de ce jeudi de la recherche !

Luc Pastur fait partie d’une petite équipe expérimentale au sein d’un département de mécanique. Leur but est d’essayer d’identifier « la simplicité dans le complexe ». Tout un programme !

Historique

Si la notion de chaos n’a été que récemment identifiée comme telle, elle puise ses racines beaucoup plus loin dans l’histoire de la physique. Remontons donc le temps…

Edward Lorenz est celui qui a découvert le chaos dans la météorologie en 1963. Il avait mis au point un code de calcul ultra-simplifié de prédiction météo sur un des premiers ordinateurs assez puissant pour cela. Grâce à son habitude de vérifier tous ses calculs deux fois, il s’est rendu compte par hasard qu’une variation minime d’un des paramètres de départ (de l’ordre d’un millième) entraînait des résultats très différents à la fin du calcul. Il a ainsi mis en évidence le phénomène de sensibilité aux conditions initiales. Et c’est lors de sa conférence de 1972 « Prédictibilité : le battement d’ailes d’un papillon au Brésil peut-il provoquer une tornade au Texas ? » que ce phénomène a trouvé sa métaphore emblématique : l’effet papillon. Cinquante ans auparavant, Henri Poincaré, que Luc Pastur n’hésite pas à qualifier de génie, publiait déjà dans son œuvre Calcul des probabilités : « il peut arriver que de petites différences dans les conditions initiales en engendrent de très grandes dans les phénomènes finaux ; une petite erreur sur les premières produirait une erreur énorme sur les derniers. La prédiction devient impossible et nous avons le phénomène fortuit. »

Il a fallu que cette théorie du chaos trouve sa place dans une physique où le déterminisme triomphant de Newton avait rencontré de nombreux succès depuis le XVIIe siècle, en particulier dans la prévision du mouvement des planètes et la découverte de Neptune en 1846. Comme l’écrivait Pierre Simon de Laplace dans son Essai philosophique sur les probabilités, en 1820 : « Nous devons donc envisager l’état présent de l’univers comme l’effet de son état antérieur, et comme la cause de celui qui va suivre. Une intelligence qui pour un instant donné connaîtrait toutes les forces dont la nature est animée et la situation respective des êtres qui la composent, si d’ailleurs elle était assez vaste pour soumettre ses données à l’analyse, embrasserait dans la même formule les mouvements des plus grands corps de l’univers et ceux du plus léger atome : rien ne serait incertain pour elle, et l’avenir comme le passé serait présent à ses yeux ». Ce déterminisme, notion philosophique selon laquelle chaque événement est déterminé par celui qui le précède selon un principe de causalité, rendait la prédiction et l’analyse scientifiques toute puissantes. Pourtant, des problèmes de mécanique céleste résistaient aux prédictions à partir des lois de la gravitation universelle, en particulier les problèmes dits à 3 corps comme l’interaction Terre-Soleil-Lune. On sait aujourd’hui que ce système est chaotique : même si l’on connaît très précisément la position et la vitesse des 3 astres à un moment donné, cette précision n’est pas suffisante pour prédire l’état du système très longtemps après. Il en est de même pour la stabilité des orbites des planètes du système solaire. Dans ces systèmes déterministes, une minime variation de l’état initial entraine un avenir très différent. Leur comportement à long terme est imprédictible par l’homme et cette imprédictibilité est nommée le chaos. Mais il n’y a rien d’aléatoire dans un tel système !

Dans un tout autre domaine, loin de la mécanique céleste, Thomas Malthus s’est intéressé, dans le cadre d’études sur la dynamique des populations, au problème de la pauvreté en Angleterre. Dans son Essai sur le principe de population publié en 1798, il propose un modèle où la population double tous les 25 ans (progression géométrique) alors que les moyens de subsistance augmentent toujours de la même valeur chaque année (progression arithmétique). Il en conclut que limiter la procréation de la population permettrait d’éradiquer la pauvreté. Inspiré par ce travail, Pierre François Verhulst montre que l’un des paramètres définis par Malthus, l’état des ressources, est proportionnel à l’écart à la valeur maximale qu’une population peut atteindre, en vertu des ressources disponibles. Autrement dit, les deux équations (progression de la population et progression des ressources) sont liées et ce système peut donner lieu à une évolution chaotique donc imprédictible. Voilà un exemple de comment des résultats très différents, chaotiques peuvent provenir d’une même équation assez simple en modifiant légèrement les conditions initiales.

De façon analogue au modèle créé par Verhulst, Robert May a conçu « l’application logistique ». Il s’agit d’une suite numérique dont la représentation graphique illustre bien la complexité qui peut surgir à partir d’une relation mathématique simple. En effet, si l’on fait évoluer la suite à partir de deux conditions initiales très légèrement différentes les deux évolutions temporelles se distinguent rapidement.

Une histoire d’attraction

La signature du chaos est l’extrême sensibilité à la condition initiale. Une bonne illustration en est le mouvement de deux pendules simples couplés, ainsi que Luc Pastur nous en a fait la démonstration (vous pouvez également voir ce type d’image à l’adresse suivante : http://www.ensta.fr/~perez/pendule/SinglePendulum.html).

Un système dynamique est identifié par son portrait de phase, c’est-à-dire la représentation géométrique des trajectoires. L’état du système y est représenté par un point, et son évolution au cours du temps par le lieu de tous ces points : voir l’illustration dans le cas du pendule

À partir d’un portrait de phase, l’attracteur peut être caractérisé. Il s’agit d’un « objet » vers lequel un système converge asymptotiquement. Cela peut être un point fixe, une courbe ou un attracteur étrange comme celui de Lorenz en forme d’ailes de papillon.

Attracteur de Lorenz, © Wikimedia commons

On distingue ainsi les systèmes conservatifs des dissipatifs. Dans les premiers, la condition initiale impose l’énergie du système, qui se conserve, et chaque valeur de l’énergie impose une trajectoire donnée. Dans les systèmes dissipatifs la dissipation de l’énergie, comme dans le cas du pendule simple amorti, conduit à un état final unique, quelle que soit la condition initiale, après un régime transitoire dépendant, lui, de la condition initiale. On parle alors d’attracteur pour définir cet état final asymptotique. Prenons l’exemple de l’application du boulanger qui consiste à fabriquer de la pâte feuilletée en étirant et pliant la pâte. On peut faire subir la même chose à un portrait par exemple : au départ le personnage deviendra totalement méconnaissable et au bout d’un certain nombre d’itérations, on obtiendra quelque chose de très proche de l’image initiale, puis de nouveau une image brouillée, etc.

Portrait de Poincaré modifié par itérations de "l’application du boulanger", © Sophie Mugnier

Il s’agit d’un système déterministe chaotique conservatif car l’état initial est très important, chaque étape est déterminée par la précédente et on passe très près de la situation initiale sans jamais la reproduire exactement. Ceci explique pourquoi le système est chaotique et non pas périodique.

Le chaos est partout…

…en chimie

C’est ce qu’a découvert le chimiste russe Boris Pavlovich Belousov en 1950 lorsqu’il a mélangé cinq composés dans l’eau à température ambiante. Intéressé par une réaction d’oxydoréduction, Belousov a voulu déterminer son point équivalent, c’est-à-dire lorsque les espèces chimiques sont en quantités équivalentes. Dans ce but, il utilisait un indicateur d’oxydo-réduction, une association de deux molécules capables de donner une couleur à la solution, indiquant ainsi le potentiel d’oxydo-réduction de la solution à tout moment de la réaction. Alors qu’il s’attendait à observer un virage de la couleur de la solution à cause de l’indicateur, il constata que la solution changeait périodiquement de couleur avec une grande régularité. Il avait mis en évidence une réaction oscillante dans le temps et dans l’espace !

Cliquez ici pour voir une vidéo de l’expérience

Une dizaine d’années plus tard, Anatol Zhabotinsky a pu expliquer ce phénomène et a même modifié la réaction pour avoir des oscillations encore plus importantes !

Cliquez ici pour voir une vidéo de l’expérience avec l’acide malonique à la place de l’acide citrique

… dans les taches solaires

© Sirius B in wikimedia commons

Les taches solaires sont des régions de la surface du Soleil à forte activité magnétique caractérisées par une température inférieure à celle de leur environnement. Leur nombre reflète une partie de l’activité interne de notre étoile. Grâce à elles, on peut mettre en évidence les inversions de champ magnétique solaire qui correspondent à un système chaotique.

…en biologie

Les rythmes biologiques, comme les battements d’un cœur, ne sont jamais vraiment périodiques. Par exemple, l’évolution du taux de calcium dans le sang au cours du temps devient périodique chez une personne malade alors qu’elle est irrégulière chez un individu sain. Que les rythmes biologiques puissent être chaotiques pourrait présenter un avantage, du point de vue de l’adaptation des individus à leur milieu. Dans un tel système, en effet, une petite perturbation du régime, en termes d’énergie consommée, peut avoir des conséquences notables, ce qui rend le système plus adaptable vis-à-vis des sollicitations extérieures.

Applications pratiques

L’utilisation d’un état chaotique contrôlé permet aux physiciens de faire faire au système ce qu’ils veulent en faisant varier très peu certains paramètres. Ceci est intéressant en électronique mais aussi pour adapter les trajectoires de sondes spatiales dans le « ping-pong » gravitationnel entre les planètes qui leur permet d’aller très loin sans consommer de carburant.

Le chaos est donc un ordre imprédictible. Il n’est pas imprédictible comme le serait un système aléatoire mais parce que nous, les hommes, sommes incapables de le prédire. Mais il y a une logique, un ordre caché dans ce désordre que nous sommes incapables de percevoir.

Victor Hugo, en guise de conclusion

Ineffable lever du premier rayon d’or !
Du jour éclairant tout sans rien savoir encor !
Ô Matin des matins ! amour ! joie effrénée
De commencer le temps, l’heure, le mois, l’année !
Ouverture du monde ! instant prodigieux !
La nuit se dissolvait dans les énormes cieux
Où rien ne tremble, où rien ne pleure, où rien ne souffre ;
Autant que le chaos la lumière était gouffre ;
Dieu se manifestait dans sa calme grandeur,
Certitude pour l’âme et pour les yeux splendeur ;
La Légende des Siècles

Pour en savoir plus :
Les voies du chaos, le film
Chaos et imprédictibilité, le film